Флексагон из бумаги


Флексагон – увлекательная математическая игрушка

Если бы не одна незначительная деталь – разница в форматах бумаги – возможно, мир никогда бы не узнал о такой удивительной поделке, как флексагон. В конце 30-х годов прошлого века английский студент Артур Стоун поступил в Принстонский университет, где начал изучать математику. Именно тогда он столкнулся с тем, что американский формат бумагиLetter немного короче привычного международного А4. Подрезав свой блокнот под новые стандарты, он машинально покрутил в руках обрезки и неожиданно получил шестиугольную фигурку.

Сложенный шестиугольник обладал интересными возможностями – когда одни грани подгибались внутрь, наружу выходили те, что раньше были спрятаны. Артур Стоун поделился открытием с друзьями, совместными усилиями они создали более сложные варианты бумажных шестиугольников. Они получили название флексагон, от английского flex – сгибать. Приставка перед названием означала количество углов в фигуре, например, шестиугольник назвали гескафлексагоном. Еще одна приставка указывала на количество поверхностей, спрятанных в поделке.

Будущие гении науки собирались в студенческой столовой, обмениваясь идеями и усовершенствуя изобретение. Они называли себя «Флексагонным комитетом» и всерьез изучали математические основы своего открытия. Уже к началу следующего десятилетия Комитет разработал глубокую теорию основ «флексологии», использование которой позволяло построить флексагон из бумаги с любым количеством граней и слоев.

Разновидности флексагона

Изначально флексагон состоял только из равносторонних треугольников, сложенных под углом 60 градусов. Со временем, члены «Флексагонного комитета» расширили его возможности, они научились складывать флексагоны из равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и других фигур. Чаще всего встречаются квадратные и шестиугольные флексагоны:

Как указывалось выше, название флексагона можно разложить на формулу: числовая приставка, означающая количество поверхностей+приставка, означающая количество углов+флексагон.

В зависимости от числа поверхностей и углов различают следующие виды флексагонов.

Гексафлексагоны. Как понятно из названия, эта поделка обладает формой правильного шестиугольника. Все слои-поверхности флексагона составлены из 6 равных треугольников. Этот вид флексагонов обладает огромным количеством подвидов, различающихся по количеству вложенных поверхностей. Их число ограничивается только тем, что бумага имеет свою толщину. Известны гексафлексагоны даже с 42 поверхностями. Самый первый, наиболее простой вариант, который подойдет для начинающих, – три гексафлексагон. У него всего три доступных поверхности. Складывают три гексафлексагон из полосы бумаги, разделенной на десять равносторонних треугольных секторов. Один из самых популярных вариантов гексафлексагона – гексагексафлексагон, шестиугольник с шестью поверхностями. Именно с него, чаще всего, начинается знакомство с флексагонами, так как техникам его складывания посвящено множество подробных мастер-классов.

Тетрафлексагон. Составленный в форме квадрата флексагон может иметь от трех поверхностей. Гекса- и декатетрафлексагоны собирают из крестообразной основы-развертки или квадратной рамки (в этом случае количество поверхностей можно рассчитать по формуле 4n+2). Используя заготовку в форме зигзага можно сложить тетратетрафлексагон и квадратные флексагоны, количество поверхностей которых кратно четырем.

Кольцевые флексагоны. Особый вид флексагонов, их поверхность составлена из кольца многоугольников разной формы. В их названии часто используют приставку «цирко», получая названия в стиле пентациркодекафлексагон. Расшифровать его можно так: кольцевой флексагон, у которого есть пять поверхностей, составленных из десяти многоугольников.

Куб Йошимото

Еще одна поделка-головоломка из бумаги – куб Йошимото – не является флексагоном, однако близка ему по духу. Его можно складывать, поворачивать, трансформировать, создавая новые фигурки, при этом куб не распадается на составные части:

Йошимото куб может показаться по-настоящему волшебным, ведь 8 небольших бумажных кубиков могут превращаться в змейку, звезду, кольцо, распадаться на две отдельные объемные звезды и снова трансформироваться. Но никакой магии здесь нет, сделать такой куб своими руками сможет даже начинающий, если проявит внимательность и будет следовать пошаговой инструкции.

Материалы:

  • листы плотной бумаги;
  • клей;
  • острые ножницы или канцелярский нож;
  • линейка;
  • карандаш;
  • скотч;
  • шаблон развертки.

Описание: схему развертки можно распечатать или перерисовать с фото. Указанные размеры не являются неизменными, их можно пропорционально увеличивать, меняя размер готовой поделки. Очень важно оставлять полтора-два мм между элементами во время их соединения, это обеспечит лучшую подвижность куба.

Скреплять кубики лучше скотчем, хотя если вместо бумаги взять картон, придется воспользоваться клеем.

Пошагово весь процесс сборки куба показан в видео МК.

Видео: Учимся делать Йошимото куб

Йошимото куб удивительная, захватывающая головоломка, которая надолго завладеет вниманием взрослых и детей. Его легко сделать самому, с привлечением детей, ведь совместное творчество подарит массу положительных эмоций.

Методы складывания флексагонов

Возвращаясь к теме флексагонов, стоит упомянуть методы складывания, которые позволяют «обойти» все доступные поверхности пошагово. Было разработано несколько методов:

  • v-flex. Используется для гексафлексагонов, от четырех поверхностей;
  • tuckflex. Еще одно название – «лодка-гексаэрд», можно выполнить на гексафлексагонах с количеством плоскостей от четырех и больше;
  • pinchflex. Используется для гексафлексагонов с количеством плоскостей от трех и больше.

Последний метод больше известен под названием обход Таккермана. Он считается одним из самых простых вариантов, рассмотреть все доступные поверхности гексафлексагона. Согласно инструкции, необходимо взять флексагон за один уголок и раскрывая его до того момента, пока это возможно. Далее его поворачивают на шестьдесят градусов по ходу часовой стрелки, берут за соседний уголок и снова поэтапно раскрывают до конца:

При использовании обхода, грани раскрываются в определенном порядке: 1, 2, 5, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 6, 3 (или в обратном направлении). Этот порядок называется путь Таккермана.

Мастер — класс по складывания гексафлексагона

Сложить свой первый гексафлексагон из бумаги совсем не сложно, если следовать определенной схеме сборки. Делать это лучше всего опираясь на мастер-класс для начинающих. Он может быть как в формате видео, так и текстовом с пошаговыми фото.

Материалы:

  • бумажная полоска 22*3,5 см (размеры можно пропорционально изменять);
  • обычный клей;
  • карандаш, разноцветные маркеры, линейка.

Техника сборки: на полосе размечают 10 равносторонних треугольников с чередованием вершин (вверх-вниз). Вершина первого из них смотрит вниз, тогда как последнего – вверх. Все грани треугольников должны быть одинаковыми – это залог правильной сборки флексагона. Разрезать ничего не нужно.

Грани можно заштриховать маркерами или пронумеровать от 1 до 10 с лицевой стороны, и от 11 до 20 с обратной. Одиннадцатый треугольник является оборотной стороной первого. Нумерацию можно сделать карандашом, тогда после сборки цифры легко сотрутся и не будут отвлекать от рисунка.

Когда треугольники размечены и подписаны, их сгибают по общим граням вперед-назад несколько раз.

Первые три треугольника загибают назад по общей грани 3 и 4 сегментов. После этого станут видны 11 и 12 треугольники.

Теперь последние четыре сегмента загибают вперед по линии соединения 6 и 7 треугольников.

После всех действий 11-ый треугольник скрыт под 19-ым. Его нужно аккуратно вывести наверх, поменяв их местами.

Последний шаг – загибание 20-го треугольника наверх, чтобы он закрыл 11-ый.

Гексафлексагон готов. Теперь можно экспериментировать с открытием поверхностей и наносить на них рисунки. Можно использовать готовые идеи раскрашивания или придумать свой уникальный узор – простор для фантазии просто безграничен!

Видео: Флексагон своими руками

vishivashka.ru

Складываем флексагон в технике оригами

Само слово «флексагон» происходит от английского «to flex» – «гнуться». Это своеобразные модели из бумаги, которые можно сложить, используя определённую схему. Складываемая фигура обретает новые плоскости, а старые исчезают внутри. Это математическое изобретение появилось в середине XX века. Сейчас оно чаще всего используется в виде игрушек и головоломок. Многие любители рукоделия пробуют самостоятельно создавать такие необычные пазлы.

Виды флексагонов

Флексагоны имеют собственную классификацию. Само собой, начинающим следует посвятить некоторое время простейшим вариантам. Это позволит освоить саму суть метода сборки, чтобы было проще справляться с более сложными поделками. А изучение теории поможет более детально понять идею и виды флексагонов. Обычно наименования в этой модели зависят от схемы сборки. Тут используется количество поверхностей в качестве приставки, тип фигуры и само слово «флексагон».

Гексафлексагоны

Гексафлексагон – фигурка, которая основывается на форме правильного шестиугольника. Сами поверхности модели состоят из треугольных секторов. Их количество может варьироваться и достигать от 3 до 48 штук. Ограничение состоит лишь в толщине самой бумаги. Гексафлексагоны делятся на отдельные подвиды. Их названия также зависят от числа поверхностей.Видео мастер-класс как сложить Гексафлексагон

Тригексафлексагон

Тригексафлексагон — это шестиугольная бумажная фигура, которая является подвидом гексафлексагона. Тут используется всего 3 поверхности, которые делают данную модель самой простой из всей категории. Даже начинающий сможет сделать такую фигуру, пользуясь поэтапным мк. Складывать её можно из полосы, которая разделена на 10 правильных треугольников. Описание техники состоит в том, что после каждого сгиба изделие поворачивается на 60°.

Гексагексафлексагон имеет 6 шестиугольных поверхностей. Бумажные полосы для этой фигуры состоят из 19 треугольников. Существует множество подробных мастер-классов с фото или видео, по которым можно сложить эту модель самому.

Тетрафлексагоны

Данный тип флексагонов обладает квадратными поверхностями. Самой примитивной фигуркой по такой схеме является титетрафлексагон, который состоит из 3 плоскостей. Причем, видимыми всегда являются только 2 из них.

Благодаря идее крестообразной развертки, тетрафлексагон можно собирать и более сложными способами. Тут также используются бумажные полосы в виде зигзага. Главное – чтобы число элементов было кратно 4. Тут точно пригодится пошаговая инструкция или даже видео мастер-класс.

Кольцевые флексагоны

Поверхность кольцевого флексагона образуется с помощью скручивания определённого количества многоугольников. Этот тип имеет множество разновидностей, названия которых часто начинаются с приставки «цирко». Шаблонов существует немало, поэтому начинающим часто непросто справиться со сборкой без подходящих фото.

Кольцевые флексагоны имеют очень необычный вид, из-за чего они чаще других используются для декора интерьера и прочих идей в дизайне. Именно поэтому многие пытаются освоить эту технику.Видео мастер-класс складывания бесконечного кольца

Метод Таккермана

Для обнаружения скрытых поверхностей гексафлексагона был создан обход Таккермана. Суть его в том, что фигура держится за определённый угол и раскрывается до того момента, когда она позволяет это делать. Далее необходимо развернуть модель на 60°. После такой манипуляции следует взять флексагон за ближайший угол и проделать ту же процедуру.Метод Таккермана позволяет раскрыть все плоскости флексагона в определенной последовательности. Она имеет чёткие числовые ограничения и повторяется либо в одном порядке, либо в обратном ему. Название этой закономерности соответствует самому феномену – путь Таккермана.

Куб Йошимото

Во второй половине XX века японцу Наоки Йошимото пришла идея невероятного пазла с несколькими поверхностями. Игрушка, получившая название своего создателя, обрела огромную популярность. Йошимото куб состоит из связанных друг с другом деталей. Процесс его складывания предполагает создание абсолютно разнообразных форм. В зависимости от того, какие делать движения, фигура принимает иные очертания.Несмотря на то что Йошимото куб стал математическим открытием и помещён, в качестве экспоната, в музей Нью-Йорка, благодаря пошаговым урокам, каждый сможет сделать его своими руками. Он точно не оставит безразличными любителей различных головоломок и пазлов. Создание такой поделки позволит не только занять себя увлекательным делом, но и улучшит пространственное мышление. Кроме того, такая игрушка способна развивать мелкую моторику рук ребёнка. Многие используют её в качестве декора в офисе или студии.

Видео мастер-класс складывания «Куб Йошимото»

Будь то флексагон из бумаги или замысловатый куб Йошимото, каждый способен справиться с такой поделкой. Конечно, поначалу понадобятся всевозможные инструкции. Но тот факт, что создание этих фигурок развивает логическое мышление, позволяет потратить время на такое небольшое хобби. Использовать игрушки можно в качестве декора или дарить их друзьям и близким. А их разнообразие позволит надолго внести такой способ досуга в свою будничную рутину.

Схемы складывания Флексагонов

vnitkah.ru

Флексагоны из бумаги — движение картинок

Для того чтобы сделать простые флексагоны из бумаги, нужно на бумаге нарисовать вот такую полосу из 10 треугольников (они должны быть равносторонними):

Затем надо аккуратно вырезать заготовку, а после этого аккуратно и очень хорошо согнуть по начерченным линиям в обе стороны. Должна получиться  треугольная гармошка.

Дальше нужно отсчитать три треугольника слева и загнуть их под низ (!), как на рисунке:

Крайний из загнутых треугольников мы назовём «треугольником А» (это пригодится нам позднее).

Теперь с другой стороны требуется отсчитать 4 треугольника. Потом их

надо загнуть наверх (!). Наш «треугольник А» должен спрятаться:

После этого надо «треугольник А» вытащить из-под низа, чтобы он стал виден:

Остался последний шаг! Надо верхний треугольник загнуть вперёд и приклеить к «треугольнику А»:

У вас должен получиться вот такой шестиугольник:

Флексагон готов!

Теперь, когда наш флексагон готов, мы попробуем научиться его крутить (вращать). Возьмите его за углы, показанные на рисунке стрелками, и соедините их вместе под флексагоном: У нас получится фигура, похожая на трёхконечную звезду (эмблему «Мерседеса»): Если мы всё сделали правильно, то флексагон сверху раскроется из центра, как бутон цветка:

Перед нами появится такой же шестиугольник, как и был вначале:

Но! Сторона, которая была сверху, ушла под низ флексагона, нижняя — спряталась внутрь, а наверху оказалась сторона, которая была внутри фигуры. Лучше всего это будет видно, если нарисовать на флексагоне какие-нибудь узоры или картинки. Об этом мы вам расскажем в следующей главе.

Вот посмотрите, как мы раскрасили флексагон, сделанный нами.

Сверху мы нарисовали вот такое солнышко: Рис. 11 А с другой стороны мы нарисовали рыбок, смотрящих в разные стороны:Рис. 12
Мы провернули наш флексагон. Вот что получилось:
Сверху появился новый узор — треугольник: Рис. 13 Солнышко «убежало» на нижнюю сторону и разобралось на части!Рис. 14
А где же рыбки? Рыбки спрятались внутрь флексагона. Теперь крутанём флексагон ещё раз.
Знакомая картина? Да, это наши рыбки, только теперь они разбились по парам и «подружились»:Рис. 15 Это наш треугольник. Раньше он был раскрашен изнутри, а теперь — снаружи:Рис. 16

Как вы, наверное, догадались, внутрь флексагона спряталось солнышко. И так можно продолжать крутить до бесконечности: рыбки снова «разругаются», снова появится солнышко, и так далее: все три картинки будут меняться, как в калейдоскопе.

Бумажное рукоделие бывает очень интересным. Своими руками можно сделать и фоторамки ручной работы.

Автор статьи Зайцева Ульяна. Москва

lakre.ru

«Шутка гения»: как сделать простой флексагон для ребенка

Флексагоны – это настоящее научное открытие 20 века. Невероятно, но конструкция, просто сложенная или склеенная из кусочков бумаги, может творить чудеса! При складывании (сгибании) флексагона его наружные поверхности уходят внутрь, а скрытые становятся видимыми. Флексагоны служат темами как научных, так и ненаучных дискуссий, но до конца их тайны и потенциал ещё не раскрыты. Однако не нужно быть математиком, чтобы сделать с ребенком один из простых плоских вариантов этой «шутки гения». С малышами удобно изучать по нему цвета. А старшие дети могут попробовать собственные силы в создании этой необычной конструкции.

Для воплощения идеи потребуется альбомный лист, ножницы и фломастеры. Делаем из прямоугольного листа квадратный, сложив его по диагонали и отрезав лишнее.

Складываем лист пополам, затем снова пополам по продольной линии.

Разворачиваем квадрат и повторяем ту же процедуру, но в поперечном направлении. Хорошо проглаживаем углы.

Оставляем квадрат согнутым пополам и вырезаем у него середину.

Можно сразу раскрасить заготовку с обеих сторон (как это правильно сделать, расскажу чуть ниже) или сделать это после сборки игрушки.

Теперь самое ответственное дело  – правильно собрать флексагон. Загните к центру последовательно левый край заготовки, потом верхний, потом правый, потом нижний.

Сгибая нижнюю часть листа вверх, нужно левую часть половину сгиба «вогнуть» между двумя слоями бумаги так, чтобы внешний край оказался внутри.

Это проще сделать, чем объяснить, но, возможно, сначала придется потренироваться.

Флексагон готов. Согните его по средней линии. Если все сделано верно, вы сможете вывернуть обратные половинки игрушки на лицевые стороны.

Осталось раскрасить игрушку. Это можно сделать на готовом флексагоне, закрашивая по очереди его грани, или перед сборкой (так получится аккуратнее). Можете воспользоваться этими фото или придумать что-то свое.

А теперь – волшебство! Сгибая флексагон по средней линии, можно 6 раз менять его цвет!

Для оформления флексагона вместо фломастеров можно использовать квадратики цветной бумаги, наклейки и любые доступные средства для творчества. Удачи!

mamere.ru


Смотрите также