На листе бумаги нарисована мишень состоящая из двух


3. Геометрическое определение вероятности

Рассмотрим на плоскости некоторую область , имеющую площадь, и внутри областиподобластьс площадью(см. рисунок 3)

В области случайно выбирается точкаX.Этот выбор можно интерпретировать какбросаниеточкиХв область, при этом попадание точки в областьдостоверное событие, а в подобластиD- случайное событие. Предполагается все точки областиравноправны (все элементарные события равновозможные) и брошенная точка может попасть в любую точку из области,и вероятность попадания в областьDпропорциональна площади этой области при этом, не зависит от её расположения и формы. Пусть событие, т.е. брошенная точка, попадёт в областьD.

Геометрической вероятностью события называется отношение площади областик площади области, т.е.

Геометрическое определение вероятности события применимо и в случаях, когда области иDлинейные или объёмные. Тогда соответстветствующие вероятности определяются равенствами:

;

где длина,объём области. Объединяя все три формулы можно сформулировать следующее общее определение.

Геометрической вероятностьюсобытияА называется отношение меры области (g), благоприятствующих, появлению событияАк мере всей рассматриваемой области (G), т. е

.

Заметим, что это определение, удовлетворяет всем трём условиям, классического определения вероятности (проверьте самостоятельно!).

Пример 5. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых соответственно 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение.Площадь кольца (фигурыg): .

Площадь большого круга (фигуры G): .

Искомая вероятность равна .

Пример 5. (Задача о встрече) Два человека договорились о встрече между 12 и 13 часов дня. Условились, что тот, который придёт первым, ждёт второго в течение 15 мин, после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый на удачу выбирает момент своего прихода.

Решение. Пустьвремя прихода первого человека, авремя прихода второго человека. Возможные значенияи:(в качестве единиц масштаба возьмём минуты), которые на плоскостиопределяют квадрат со стороной, равной 60. Точки этого квадрата изображают время встречи людей,(см. рис.5).

Тогда вероятное пространство выражается областью: все исходы в -равновозможные, так как лица приходят наудачу. Обозначим через А событие, когда встреча лиц произойдёт, если разность между моментами их прихода будет не более 15 мин по обсалютной величине, следовательно,Неравенство

определяет область точек (на чертеже -заштрихованная область , которая благоприятствуют исходам встрече двух лиц.

Таким образом, искомая вероятность определяет геометрическую вероятность и определяется формулой

,

где соответственно площадь, области , а площадь областиравнаСледовательно

.

Задание.Эту же задачу решите самостоятельно в предположениях:

1. 10 минутного время ожидания первого лица пришедшего на встречу.

2. 45 минутного время ожидания первого лица пришедшего на встречу.

3. Сравните полученные результаты (вероятности)!

4. Если вероятностное пространство ито верна формула

В качестве следующего примера для геометрической вероятности рассмотрим задачу.

Задача 1. Стержен длиноюпроизвольным образом ломают на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник (событиеA)?

Решение. Обозначим черезидлины концевых частей стерженя(рис. 6); длина третьей части будет равнаВозможные значенияисвязаны условиями:

(1)

Данная система неравенств определяет на координатной плоскости область. Для того чтобы из трёх частей стерженя можно было сложить треугольник, необходимо и достаточно выполнение условий: каждая сторона треугольника должно быть меньше чем суммы двух других сторон треугольника, т.е. выполняются неравенства

(2) (g):

Система неравенств (2) выделяют из области подобласть, где записано условие, что каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других (см. рис.7). Согласно нашему способу разбиения (оно произвольное) легко заметить, что площадь областиравна четвёртой части площади областиОбластьсостоит из четырёх равных частей (треугольников). Следовательно, по формуле геомерической вероятности (основанием для этого служит «произвольность» разлома стержня) получим:

.

рис.7

Задача 2. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, при этом поступление каждого из сигналов, равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью . Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше

Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время (событие, если каждое устройство пошлёт по одному сигналу.

Решение. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройства через иВ силу условия задачи должны выполнятся двойные неравенства:

(3) .

Рассмотрим прямоугольную систему координат В этой системе двойное неравенство (3) выделяет область (квадрат):, координаты точек которой, представляют возможные значения элементов поступления сигналов первого и второго устройства

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше т.е.,

(4)

Система неравенств (4) указывают на область , куда поподают сигналы. Эта область указана на рисунке 8 и все точки, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (4) принадлежать заштрихованному шестиграннику. Следовательно, этот шестигранник можно рассматривать как фигуру, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времении.

Искомая вероятность определяется равенством

Теперь мы можем рассмотреть аксиоматическое определение вероятности.

studfiles.net

Тест № 4

№ п/п

Задания

Варианты ответов

Прав. ответ

1.

На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное указанными окружностями?

1) 0,5;

2) 0,65;

3) 0,12;

4) 0,75;

5) 0,60.

4

2.

Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по мишени. Событие A k - «попадание в мишень при k-ом выстреле (k = 1, 2, 3). Выберите правильное выражение для обозначения события «хотя бы одно попадание в цель».

1) A1;

2) ;

3)

4)

5) A1+ A2 + A3 .

5

30

3.

4.

5.

6.

7.

На сборку попадают детали с двух автоматов: 80 % из первого и 20 % из второго. Первый автомат дает 10 % брака, второй – 5 % брака. Найти вероятность попадания на сборку доброкачественной детали.

Случайная величина Х задана законом распределения:

xi

0

5

x2

pi

0,2

0,7

0,1

Найти значение x2 , если М (Х) = 5,5.

Случайная величина задана плотностью распределения

Найти коэффициент С.

Случайная величина распределена по нормальному закону, причем М (Х) = 15. Найти Р (10 < X < 15), если известно, что Р (15 < X < 20) = 0,25.

По выборке объема n = 51 найдена смещенная оценка Дв = 3 генеральной

дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

0,90; 0,09; 0,91; 0,85; 0,15.

  1. 0,10;

  2. 0,15;

  3. 0,20;

  4. 0,25;

  5. 0,30.

3,05; 3,06; 3,51; 3,60; 0.

3

2

3

4

1

Тест №5

№ п/п

Задания

Ответ с клавиатуры

1. Сколько всевозможных хорд определяют 8 точек на окружности. 28

2.

Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:

0,8

xi

40

42

44

45

46

Найти вероятность события Х

studfiles.net

Задачи по теории вероятностей. Геометрические вероятности

Задачи по теории вероятностей

Геометрические вероятности

Содержание

  1. На отрезке L длины 20 см помещен меньший от­резок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается,  что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
  2. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую,  чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.
  3. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что 'вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
  4. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r

    www.itmathrepetitor.ru

    15 игр на бумаге для двоих

    Уверена, что хоть сейчас гаджетное время, но всегда бывают ситуации, когда кроме друзей и листика бумаги у вас ничего не будет . Так что запоминайте или записывайте! Тут будут как и всем известные игры, так и надеюсь что для кого то новые.

    Быки и коровы

    Первый игрок задумывает четырехзначное число, так чтобы все цифры числа были разные. Цель второго игрока — отгодать это число. Каждый ход, отгадывающий называет число, тоже четырехзначное и с разными цифрами. Если цифра из названного числа есть в отгадываемом числе, то эта ситуация называется корова. Если цифра из названного числа есть в отгадываемом числе и стоит в том же месте, то эта ситуация называется бык.

    Например, первый игрок задумал 6109, а второй игрок назвал 0123. То первый игрок должен сказать: один бык и одна корова (1б,1к).

    Свое слово задумывает каждый партнер. Ходят по очереди. Выигрывает тот, кто раньше отгадает число соперника.

    Виселица

    «Палач» — еще одна популярная головоломка, созданная специально для двух игроков. Для этой игры вам понадобятся чистая бумага и ручка.

    Первый игрок задумывает слово. Это должно быть существующее слово, и игрок должен быть уверен, что другой игрок знает это слово и знаком с его написанием. Он изображает ряд пустых мест, необходимых для написания слова. Затем рисует следующую схему, которая изображает виселицу с петлей.

    Игра начинается, когда второй игрок предлагает букву, которая может входить в это слово. Если он угадывает, первый игрок пишет ее в нужном незаполненном месте. Если в слове такой буквы нет, он пишет эту букву в стороне и начинает дорисовывать виселицу, добавляя к петле круг, изображающий голову. Противник продолжает отгадывать буквы до тех пор, пока не отгадает все слово. За каждый неправильный ответ первый игрок добавляет одну часть туловища к виселице.

    Если туловище нарисовано раньше, чем противник может угадать слово, первый игрок побеждает. Если противник отгадывает слово правильно до того, как туловище нарисовано полностью, побеждает он, и тогда наступает его черед задумать слово.

    Крестики-нолики на бесконечном поле

    Освободиться от предопределенности результата в Крестиках-ноликах позволяет расширение поля игры.

    На бесконечном поле (вполне подойдет лист бумаги) играющие по очереди ставят свой знак (крестик или нолик). Игра заканчивается, когда один из играющих выигрывает или если поле заканчивается.

    Выигрывает тот, кому удается выстроить пять своих знаков по одной линии, прямой или диагональной.

    Если вы играете в компьютерные игры, то без труда сможете предположить, создатели каких из них отдали этому расширенному варианту крестиков-ноликов немало времени.

    Источник: www.goodhouse.ru

    Морской бой

    Целью данной игры является уничтожение объектов (кораблей) противника. Играют двое человек. События игры происходят на 2-х квадратных полях размером 10х10. Одно из полей Ваше, другое соперника. На нем вы расставляете собственные объекты (корабли) и по ним наносит удары противник. На другом поле располагает свои объекты (корабли) противник.

    Ваши вооруженные силы, как и силы противника содержат следующие объекты (корабли):

    1 палубный (размером 1 клетка) — 4 штуки

    2-х палубный (размером 2 клетки) — 3 штуки

    3-х палубный (размером 3 клетки) — 2 штуки

    4-х палубный (размером 4 клетки) — 1 штука.

    Объекты (корабли) не могут расставляться вплотную, то есть между двумя соседними объектами (кораблями) должна быть как минимум одна свободная клетка (учтите, противник также не может располагать объекты (корабли) вплотную).

    Когда все приготовления закончены и объекты (корабли) расставлены пора начинать битву.

    Первым ходом обладает игрок, объекты (корабли) которорого расположены на левом поле. Вы выбираете на поле противника клетку и «стреляете» в этот квадрат. Если вы потопили корабль противника, то соперник должен сказать «убил», если вы ранили корабль (то есть вы попали в корабль имеющий больше чем одну палубу), то соперник должен сказать «ранил». В случае попадания в корабль соперника, Вы продолжаете «стрельбу».

    Игра заканчиваеся, когда один из ее участников теряеет все корабли.

    Точки

    Точки — игра на смекалку для двух или четырех человек. Однако лучше всего играть только вдвоем. Для этой игры вам понадобится чистая бумага и столько ручек, сколько игроков. Цель игры в том, чтобы соединить нарисованные линии в квадраты, тот игрок, который создаст наибольшее число квадратов, выигрывает игру.

    Для начала создайте поле на чистом листе бумаги, нарисуйте горизонтальные и вертикальные линии из маленьких точек на одинаковом расстоянии друг от друга. Очень быстрая игра состояла бы из десяти вдоль и десяти точек поперек. Вы моете сделать поле как угодно большим или маленьким, в зависимости от уровня игры и числа игроков.

    Как только поле создано, каждый игрок по очереди делает ход, рисуя по одной линии сразу, соединяющей две точки. Точки можно соединять по горизонтали или по вертикали, но иногда — по диагонали. Как только игрок заканчивает квадрат, он ставит свои инициалы внутри квадрата и получает следующий ход, и так далее, пока ему удается создавать квадрат с помощью одной дополнительной линии.

    В этой игре возможны две стратегии: во-первых, можно мешать противникам создавать квадраты. Во-вторых, можно формировать поле так, чтобы иметь возможность создавать большое число квадратов с помощью одной дополнительной линии.

    Балда

    Первый игрок пишет букву, следующий добавляет букву спереди или сзади написанной буквы и т.д. Проигрывает тот, в результате подстановки кого получилось целое слово. Буквы нужно подставлять не абы как, добавляя очередную букву, вы должны иметь в виду какое-то определенное слово, в котором встречается написанная Вами комбинация букв. Если тот, кто должен сделать очередной ход, не может придумать ни одного слова с комбинацией букв, которая сложилась перед его ходом, он должен сдаться. В этом случае игрок, который написал последнюю букву, должен сказать, какое слово он имел в виду, если слово он назвать не может, то проигрывает сам, если назвал – проигрывает тот, кто сдался. Тот, кто проигрывает первый раз получает букву Б, второй раз – А и т.д., пока не получится слово Балда. Тот, кто первым станет Балдой, проигрывает окончательно.

    Естественно, играть можно не только на бумаге, но и устно.

    Танчики

    Два игрока рисуют по 7-10 ?танчиков? или ?звездолетов?, каждый на своей половине двойного тетрадного листа (лучше не в клеточку, а в линейку или пустого А4). Расставив армию, игроки начинают обстреливать друг друга следующим образом: выстрел рисуется на своей половине поля, затем лист складывается ровно посередине, и выстрел, видимый напросвет, отмечается на второй половине поля. Если он задел танк, тот подбит (второе ?подбивание? фатально), а если попадал точно в него, танк сразу уничтожен.

    Каждый удачный выстрел дает право на следующий; в некоторых версиях игры, нельзя стрелять следующим выстрелом в тот же танк.

    После предварительной пристрелки, игра очень быстро переходит в стадию ?блиц-крига?, а точнее, стремительной развязки. Побеждает, естественно, тот, кто первым расстрелял армию соперника.

    Заграждения

    Простая тактическая игра, суть которой в позиционной борьбе за пространство. На поле 8х8 (т.е. размера шахматной доски), игроки один за другим чертят небольшие линии, которые перекрывают 2 любых клетки подряд: т.е. например игрок 1 проводит вертикальную линию, занимающую e2 и e3.

    Игрок 2 делает то же самое, но его линия не может пересекать или соприкасаться с уже существующими ?заграждениями?. По мере заполнения поля, остается все меньше свободного пространства, и в конце необходим трезвый расчет, чтобы закончить игру. Игрок, который не может больше поставить свою черту, т.к. все уже загорожено, проигрывает.

    Ободки

    Простая и довольно веселая игра, построенная на тех же принципах, что и парад монет, но совсем другая по форме.

    На небольшом поле (это может квадрат или прямоугольник произвольного размера, не особенно важно) игроками расставляется порядка 15-20 точек в самых разных местах, хотя более-менее равномерно.

    Затем первый игрок чертит ободок округлой, но произвольной формы, который проходит минимум через 1 точку. Максимум в классической версии неограничен, хотя я бы рекомендовал давать максимум 4 точки в ободке.

    Следующий игрок чертит свой ободок, единственное ограничение ? он не может пересекаться с уже начерченными. Ободки могут чертиться внутри ободков, или, наоборот, окружать уже существующие, главное, чтобы не пересекались. Через некоторое время остается совсем мало места, и тот, кто чертит последний ободок, проигрывает.

    Вариацией этой игры является правило чертить ободки, охватывающие только 1 или 2 точки, не более.

    Цифровые войны

    В этой игре главным действующим лицом является ластик. Стирать придется постоянно, это же война, и неизбежны потери. Многие циферки погибнут ради вашей победы!

    Игра очень быстрая и вариативная, и, в общем, весьма простая.

    Вы пишете ряд цифр от 0 до 9, в любой последовательности, в любых комбинациях. Длина может быть такая, какую вам захочется, рекомендую начать с 20. Например, это может быть ряд 5,3,6,9,0,8,4,6,1,3,2,4,8,7,0,9,5 ? или какой угодно иной.

    Своим ходом игрок может сделать одно из двух возможных в игре действий:

    изменить в меньшую сторону одну из цифр, максимум до 0 (отрицательных величин в игре нет);

    стереть любой ноль и все цифры справа него, сократив таким образом длину полосы.

    Проигрывает тот, кто уничтожает последний ноль.

    Точки и квадраты

    Автор этой игры, популяризатор математики и наук Мартин Гарнер, считал ее ?жемчужиной логических игр?. Не разделяя его мнения, тем не менее, вполне можно назвать игру одной из лучших тактических игр, интересных в любом возрасте.

    Игровое поле ? ряды точек от 3х3, до 9х9. Начинать лучше с малого поля, и почувствовав вкус, наращивать размер. Правила очень просты: играющие соединяют две точки линией, и когда игрок может закрыть квадрат, он ставит в него свой знак (например, первую букву своего имени).

    Замыкая квадрат, игрок получает право на дополнительный ход, до тех пор, пока не проставит линию, которая ничего не замыкает. В конце игры подсчитывается, кто замкнул больше квадратиков, и определяется победитель.

    При кажущейся простоте, игра представляет неплохое пространство для комбинаторной игры, особенно на полях 5х5 и больше. Суть выигрышной тактики ? заставить поле полузакрытыми конструкциями, пожертвовать, несли необходимо, несколькими квадратиками в пользу оппонента, а затем, когда ставить уже практически некуда, вынудить его сделать невыгодный ход (ничего не закрывающий) ? и после того закрыть большинство квадратиков одной серией.

    Тройка

    Простейшая словесная игра, по принципу крестиков-ноликов, только с буквами.

    На поле 3х3 (потом попробуйте и другие размеры), двое игроков ставят по одной любой букве, и выигрывает тот, у кого к концу партии (когда все поля будут заполнены) получится написать по диагонали, вертикали или горизонтали больше общеизвестных слов из 3 букв.

    Игра полезна для детей, которые учатся писать. Для взрослых в ней нет довольно малая соревновательная ценность, но игроков с юмором ждет масса удовольствия. Для детей, можно играть в вариант ?кто первый создаст слово, а не у кого слов будет больше.

    Гонки

    Более сложная и длинная игра, построенная на том же принципе, что и другие бумажные игры на координацию: движении ручки, стоящей вертикально, по листу от легкого щелчка.

    На листе (одинарном или двойном) чертится гоночная трасса (Race), в виде двух изгибающихся, неровных кругов, повторяющих очертания друг друга, шириной в 2-3-4 клетки (зависит от количества участников). Затем в произвольном месте получившегося кольца проводится линия старта/финиша, с которой стартуют гоночные машины.

    Короткими аккуратными росчерками, гонщики движутся по кольцу, преодолевая изгибы и специальные препятствия, вылетая в кювет, снова выходя на поле, и в результате, кто-то из них приходит к финишу первым, и пожинает лавры.

    Каждый раз, когда линия гонщика касается границы трассы или пересекает ее, в месте пересечения ставится крест, и гонщик пропускает следующий ход, разворачивая свою машину, чтобы она могла продолжить заезд. Таких пересечений у каждой машины в запасе 5 шт. (5 очков жизни), и шестое столкновение становится фатальным.

    Помимо этого, на трассе могут быть какие угодно препятствия ? например, зоны повышенной опасности: влетев в такую зону, машина получает больше повреждений, и теряет два очка жизни. Или специальные препятствия, которые выступают из краев, и делают проход более узким, лоибо наоборот, стоят в середине, и заставляют машины протискиваться в

    Возможно так же ввести touch points точки, вернее, небольшие кружки, в которые машина обязательно должна попасть, проезжая мимо (т.е., через которые обязательно должна пройти линия). На рисунке изображены сразу все перечисленные усложнения трассы, и видно, что гонка еще далека от завершения.

    Можно придумывать и вводить собственные правила, новые препятствия, а если участников 4 и больше, можно даже устроить гоночную серию, сделав несколько трасс, и в промежутках между ними позволяя игрокам закупать снаряжение, на сумму очков в зависимости от занятого места. Например, купить дополнительные очки жизни или атакующие шипы, и снимать по 1 очку жизни с машины, которую обгоняешь.

    Гольф

    Игроки стартуют с двух точек рядом друг с другом внизу двойного листка, стоящего вертикально (см. рисунок).

    Каждый играет ручкой своего цвета, и задача каждого ? за минимальное количество ударов (линий от ручки, скользящей по листу) завести мяч в лунку. Лунка находится на противоположном конце поля, т.е. сверху листа. И человеку с хорошей координацией требовалось максимум 4-5 ударов чтобы загнать линию в лунку.

    Но в продвинутых версиях Гольфа путь к ней не так-то прост, потому что от длинных прямых линий защищают холмы, выполняющие роль буфера и не позволяющие игроку. При попадании в холм, противник исполняет откат т.е. пуляет линию нарушившего в любую сторону, и тот вынужден продолжать свою серию ударов с места, куда эта линия пришла. Или, возможно, к трассе попавшего в холм приписывается 1 или 2 лишних хода.

    nice-flowers.com


    Смотрите также